Question

设矩阵A=

a b c d

，矩阵A属于特征值λ₁=-1的一个特征向量为α₁=

1 -1

，属于特征值λ₂=4的一个特征向量为α₂=

3 2

，求ad-bc的值．

Answer 1

考点：特征值、特征向量的应用

专题：矩阵和变换

分析：根据特征值、特征向量的定义可知Aα=λα，利用待定系数法列出四个等式关系，解二元一次方程组即可求出a、b、c、d的值，进而求出ad-bc的值．

解答： 解：由特征值、特征向量定义可知，Aα₁=λ₁α₁，
即

a b c d

1 -1

=-1×

1 -1

=

-1 1

，
可得

a-b=-1 c-d=1

…①；
同理可得

a b c d

 

3 2

=4×

3 2

=

12 8

，
即

3a+2b=12 3c+2d=8

…②；
由①②，解得a=2，b=3，c=2，d=1，
因此ad-bc=2-6=-4，
即ad-bc的值为-4．

点评：本题主要考查了二阶矩阵、矩阵的特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．