题目内容
已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+π）sin（x+
）+3cos2x
（Ⅰ）求函数的单调减区间：
（Ⅱ）若方程f（x）=a+2，x∈[-
，
]有两解，求实数a的取值范围．
| 3π |
| 2 |
（Ⅰ）求函数的单调减区间：
（Ⅱ）若方程f（x）=a+2，x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,二倍角的余弦,正弦函数的单调性
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）化简可得f（x）=
sin（2x+
）+2，利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调增区间；
（2）由x∈[-
，
]可得f（x）的值域，结合函数的图象可得3≤a+2＜2+
由不等式可得结论．
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）由x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 2 |
解答：
解：（1）化简可得f（x）=sin2x+2sin（x+π）sin（x+
）+3cos2x
=
sin（2x+
）+2，
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
可得kπ+
≤x≤kπ+
，k∈Z，
∴函数y=f（x）的单调递增区间为：[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）；
（2）∵x∈[-
，
]，
∴2x+
∈[-
，
]，
∴sin（2x+
）∈[-
，1]，
∴f（x）∈[1，2+
]，
∵关于x的方程f（x）=a+2，x∈[-
，
]有两解，结合函数的图象可知：
∴3≤a+2＜2+
，∴m∈[1，
）
∴实数a的取值范围为：[1，
）．
| 3π |
| 2 |
=
| 2 |
| π |
| 4 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
∴函数y=f（x）的单调递增区间为：[kπ+
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
（2）∵x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
∴sin（2x+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
∴f（x）∈[1，2+
| 2 |
∵关于x的方程f（x）=a+2，x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴3≤a+2＜2+
| 2 |
| 2 |
∴实数a的取值范围为：[1，
| 2 |
点评：本题考查三角函数的性质，涉及和差角公式和三角函数的值域，属中档题．
练习册系列答案
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