题目内容

已知矩阵M有特征值λ1=8及对应特征向量α1=
1
1
，且矩阵M对应的变换将点（1，-1）变换成（4，0），求矩阵M的另一个特征值．
考点：特征向量的定义
专题：矩阵和变换
分析：设M=
ab
cd
，则
ab
cd
1
1
=8
1
1
=
8
8
，故
a+b=8
c+d=8
，又矩阵M对应的变换将点（1，-1）变换成（4，0），从而求出M=
62
44
．再由f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16=0，能求出矩阵M的另一个特征值是2．
解答： 解：设M=
ab
cd
，则
ab
cd
1
1
=8
1
1
=
8
8
，故
a+b=8
c+d=8
，
又矩阵M对应的变换将点（1，-1）变换成（4，0）
∴
ab
cd
1
-1
=
4
0
，故
a-b=4
c-d=0

联立以上两方程组，解得：a=6，b=2，c=4，d=4，
故M=
62
44
．（6分）
再由f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16=0得，λ=8或λ=2，
矩阵M的另一个特征值是2．（10分）
点评：本题考查求矩阵M的另一个特征值的求法，是中档题，解题时要认真审题．
练习册系列答案
相关题目
如图，动圆D过定点A（0，2），圆心D在抛物线x2=4y上运动，MN为圆D在x轴上截得的弦，当圆心D运动时，记|AM|=m，|AN|=n．
（Ⅰ）求证：|MN|为定值；
（Ⅱ）求
n
m
+
m
n
的取值范围．
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，若a2+b2-c2=absin2C
（1）求角C；
（2）若c-a=2，
AB
•
AC
=36，求sinA+sinB-sinC．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-3，0），过点F1作一条直线l交椭圆于A，B两点，点A关于坐标原点O的对称点为A1，两直线AB，A1B的斜率之积为-
16
25
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知D（m，0）为F1右侧的一点，连AD，BD分别交椭圆左准线于M，N两点，若以MN为直径的圆恰好过点F1，求m的值．
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，|AA1|=|BC|=1，|AC|=
2
，点M是BB1的中点，Q是AB的中点．
（1）若P是A1C1上的一动点，求证：PQ⊥CM；
（2）求二面角A-A1B-C大小的余弦值．
已知Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
（1）求S2，S4的值；
（2）若Tn=
7n+11
12
，试比较S2n与Tn的大小，并给出证明．
（Ⅰ）从集合{-1，0，1，2}中随机选取一个数为m，从集合{0，1}中随机选取一个数为n，求m-2n=0的概率；
（Ⅱ）从集合{x|-1≤x≤2}中随机选取一个数为a，从集合{y|0≤y≤1}中随机选取一个数为b，求a-2b＞0的概率．
已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+π）sin（x+
3π
2
）+3cos2x
（Ⅰ）求函数的单调减区间：
（Ⅱ）若方程f（x）=a+2，x∈[-
π
4
，
π
4
]有两解，求实数a的取值范围．
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点P（1，
2
2
），离心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点M（0，2）的直线l与椭圆E相交于A，B两点．
①当直线OA，OB的斜率之和为
4
3
时（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k；
②求
MA
•
MB
的取值范围．

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