题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5（其中常数a，b∈R），f′（1）=3，x=-2是函数f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值和最小值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值和最小值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算,利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：求出f′（x），由函数在x=-2处取得极值得到f′（-2）=0，又f′（1）=3，联立两个关于a、b的二元一次方程，求出a和b，得到解析式；再求出函数x∈[0，1]时的单调性，即可求函数f（x）的最大值与最小值．
解答：
解：（1）∵f′（x）=3x2+2ax+b，
∴f′（-2）=3×（-2）2+2a×（-2）+b=0，
化简得：12-4a+b=0 ①
又f′（1）=3+2a+b=3 ②
联立①②得：a=2，b=-4，
∴f（x）=x3+2x2-4x+5；
（2）∴f′（x）=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2），
x∈[0，1]时，f′（x），f（x）的变化情况如下：
由上表可知，f（x）在[0，1]上的最大值是5，最小值是
．
∴f′（-2）=3×（-2）2+2a×（-2）+b=0，
化简得：12-4a+b=0 ①
又f′（1）=3+2a+b=3 ②
联立①②得：a=2，b=-4，
∴f（x）=x3+2x2-4x+5；
（2）∴f′（x）=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2），
x∈[0，1]时，f′（x），f（x）的变化情况如下：
由上表可知，f（x）在[0，1]上的最大值是5，最小值是
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点评：本题考查利用导数研究函数最值的能力；函数在某点处有极值，那么导函数在此的函数值为0．
练习册系列答案
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