Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，A₁B⊥C₁C，AC=BC．
（1）求证A₁A⊥A₁C；
（2）若A₁A=A₁C=2，求三棱锥B₁-A₁BC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：先证明A₁A⊥平面A₁BC，再证明A₁A⊥A₁C；确定底面积与高，从而求出体积．

解答： 解：（Ⅰ）∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴A₁A⊥BC．
∵A₁B⊥C₁C，A₁A∥C₁C，
∴A₁A⊥A₁B，又BC∩A₁B=B，
∴A₁A⊥平面A₁BC，又A₁C?平面A₁BC，
∴A₁A⊥A₁C．
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ），△A₁AC是等腰直角三角形，AA₁=A₁C=2，AC=2

2

．
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∴Rt△A₁AC斜边上的高等于斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，且等于

2

．）
在Rt△ABC中，AC=BC=2

2

，S_△ABC=

1

2

AC•BC=4，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=S_△ABC•

2

=4

2

．
又三棱锥A₁-ABC与三棱锥C-A₁B₁C₁的体积相等，都等于

1

3

V，
∴三棱锥B₁-A₁BC的体积V₁=V-2×

1

3

V=

4 2

3

．

点评：本题考查了空间几何体的体积求法，同时考查了线面垂直的判定与性质，属于中档题．