Question

4．设3阶方阵A的伴随矩阵为A^*，且|A|=$\frac{1}{2}$，求|（3A）^-1-2A^*|．

Answer 1

分析 由关系式A^-1|A|=A^*，及|A|=$\frac{1}{2}$，可求2A^*=2A^-1|A|=2×$\frac{1}{2}$A^-1=A^-1，代入所求，利用行列式的运算即可求解．

解答 解：∵A^-1|A|=A^*，
∴2A^*=2A^-1|A|=2×$\frac{1}{2}$A^-1=A^-1，
∴原式=|（3A）^-1-2A^*|
=|（3A）^-1-A^-1|
=|$\frac{1}{3}$A^-1-A^-1|
=|-$\frac{2}{3}$A^-1|
=（-$\frac{2}{3}$）³|A^-1|
=-$\frac{8}{27}$|A|^-1
=-$\frac{8}{27}$×2
=-$\frac{16}{27}$．

点评 本题主要考查了伴随矩阵，行列式，逆矩阵的关系及运算，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．