Question

已知函数f（x）=cosx，x∈R，将函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍（纵坐不变），再向左平移

π

4

个单位长度得到函数g（x）的图象，则关于f（x）•g（x）有下列命题，其中真命题的序号是

 

①函数y=f（x）•g（x）是奇函数；
②π是函数f（x）•g（x）的一个周期；
③函数f（x）•g（x）的图象关于点（π，0）中心对称；
④函数f（x）•g（x）的最大值为

4 3

9

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）•g（x）=-sin2xcosx，由此判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答： 解：把函数f（x）=cosx，x∈R的图象上所有点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍（纵坐不变），
可得函数y=cos2x 的图象；再向左平移

π

4

个单位长度得到函数g（x）=cos2（x+

π

4

）=-sin2x的图象，
则f（x）•g（x）=-sin2xcosx，
显然，函数y=f（x）•g（x）是奇函数，故①正确．
再根据把x换成x+π，函数值变为原来的相反数，可得π不是函数的周期．
再根据当x=π时，函数的值为0，可得函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（π，0）中心对称，故③正确．
再根据f（x）•g（x）=-2sinx•cos²x=-2sinx（1-sin²x），
令sinx=t∈[-1，1]，则h（t）=-2t（1-t²）=2t³-2t．
∵h′（t）=6t²-2，令 h′（t）=0，求得t=±

3

3

，
再利用导数的符号求得h（t）的增区间为[-1，-

3

3

）、（

3

3

，1），减区间为（-

3

3

，

3

3

）．
故当t=-

3

3

时，函数h（t）取得最大值为

4 3

9

，故④正确，
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，利用导数求函数的单调区间，根据函数的单调性求函数的最值，属于基础题．