Question

数列{a_n}，S_n是其前n项和，若a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，且a_na_n+1≠1，则S₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出数列{a_n}是周期为3的周期数列，所以S₂₀₁₄=671×（1+2+3）+1=4027．

解答： 解：∵a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，
∴a₃=3，
∴a₁+a₂+a₃=6，
∵a₂=2，a₃=3，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，
∴a₄=1，
以此类推得到从第五项开始依次是2、3、1、2、3、1…
∴数列{a_n}是周期为3的周期数列，
∴S₂₀₁₄=671×（1+2+3）+1=4027．
故答案为：4027．

点评：本题考查数列的前2014项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的周期性质的合理运用．