Question

10．已知函数f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{|x|}}$．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若e^tf（2t）+mf（t）≥0对t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；
（2）由 t∈[1，2]时，e^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=e^t-e^-t，代入得到m的范围即可．

解答 解：（1）当x≤0时f（x）=0，
当x＞0时，f（x）=e^x-e^-x，
由条件可得，e^x-e^-x=2，
即e^2x-2×e^x-1=0，解得e^x=1±$\sqrt{2}$，∵e^x＞0，
∴e^x=1+$\sqrt{2}$，
∴x=ln（1+$\sqrt{2}$）．
（2）当t∈[1，2]时，e^tf（2t）+mf（t）≥0，
即m（e^2t-1）≥-（e^4t-1）．∵e^2t-1＞0，∴m≥-（e^2t+1）．
∵t∈[1，2]，∴-（1+e^2t）∈[-1-e⁴，-1+e]，
故m的取值范围是[e-1，+∞）．

点评 本题主要考查了函数恒成立问题．属于基础题．恒成立问题多需要转化，因为只有通过转化才能使恒成立问题等到简化；转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用，同时转化过程更提出了等价的意识和要求．