题目内容
2．假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：x=2，3，4，5，6分别对应y=2.2，3.8，5.5，6.5，7.0．若资料知，y对x呈线性相关关系，试求：（1）$\overline{x}$，$\overline{y}$及回归直线方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
提示：回归直线方程y=bx+a，b=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$．
分析 （1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数b，根据样本中心点一定在线性回归直线上，求出a的值，写出线性回归方程；
（2）当自变量为10时，代入线性回归方程，求出维修费用，这是一个预报值．
解答 解：（1）$\overline x$=（2+3+4+5+6）÷5=4$\overline y$=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）÷5=5$\sum_{i=1}^5{_{\;}^{\;}}$$\sum_{i=1}^5{x_i^2={2^2}+{3^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}}=90$$\sum_{i=1}^5{x_i^2={2^2}+{3^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}}=90$$\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}=2*2.2+3*3.8+4*5.5+5*6.5+6*7.0=112.3$
∴回归系数b=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23，a=5-1.23×4=0.08
∴回归直线方程为y=1.23x+0.08
（2）当x=10时，y=1.23*10+0.08=12.38（万元）
即估计用10年时间时，维修费用约为12.38万元．
点评 本题考查线性回归方程的求解和应用，是一个基础题，解题的关键是正确应用最小二乘法来求线性回归方程的系数
练习册系列答案
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12．
某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10，15）和[25，30）的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10，15）的概率．
某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如图：| 分组 | 频数 | 频率 |
| [10，15） | 20 | 0.25 |
| [15，20） | 50 | n |
| [20，25） | m | p |
| [25，30） | 4 | 0.05 |
| 合计 | M | N |
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10，15）和[25，30）的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10，15）的概率．
17．
在某产品表面进行腐蚀刻度线实验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如表：
（1）画出表中数据的散点图；
（2）求y对x的回归直线方程；
（3）试预测腐蚀时间为100s时腐蚀深度是多少？（可用计算器）
参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，
线性回归方程$\widehat{y}$=bx+$\widehat{a}$．
在某产品表面进行腐蚀刻度线实验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如表：| x（s） | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 90 | 120 |
| y（μm） | 6 | 10 | 10 | 13 | 16 | 17 | 19 | 23 | 25 | 29 | 46 |
（2）求y对x的回归直线方程；
（3）试预测腐蚀时间为100s时腐蚀深度是多少？（可用计算器）
参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，
线性回归方程$\widehat{y}$=bx+$\widehat{a}$．
已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=2，DC=$\sqrt{2}$，E，F分别为PD，PC的中点，且BE与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
11．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如表
根据上表可得回归直线方程为$\hat y$=0.92x-96.8，则表格中空白处的值为60．
| x | 165 | 160 | 175 | 155 | 170 |
| y | 58 | 52 | 62 | 43 |
12．已知-$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{3}$，0＜y＜$\frac{π}{6}$，则x-y的取值范围（ ）
| A． | （-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$） | B． | （-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$） | C． | （-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$） | D． | （-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$） |