Question

6．若函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=10^x，则当x≤0，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{-1{0}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 设x＜0，则-x＞0，由奇函数性质及已知表达式可求得x＜0时f（x），再由奇函数性质可求f（0）=0，从而求得函数在x≤0时的解析式．

解答 解：设x＜0  则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=10^x，
∴f（-x）=10^-x，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（-x）=10^-x=-f（x），
∴f（x）=-10^-x，（x＜0）
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴当x≤0时，f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{-1{0}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{-1{0}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了求函数的解析式，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．同时考查了函数的奇偶性，奇函数要注意定义域在R上时，对f（0）=0的应用，解题的关键是在整体代换的过程中运用了函数的奇偶性．属于基础题．