Question

5．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x₁和年销售量y₁（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

$\overrightarrow x$	$\overrightarrow y$	$\overrightarrow w$	$\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$	$\sum_{i=1}^n{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$	$\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}$	$\sum_{i=1}^n{（{w_i}-\overline w）（{y_i}-\overline y）}$
46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中w₁=$\sqrt{x}$₁，$\overrightarrow w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^n{w_i}$
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d$\sqrt{x}$哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（1）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（2）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehatβ$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\overline{v）}}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}$，$\widehatα$=$\overline v$-$\widehatβ\overline u$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据散点图，即可判断出，
（Ⅱ）先建立中间量$w=\sqrt{x}$，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；
（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，
（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由散点图可以判断，$y=c+d\sqrt{x}$适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型．…（2分）
（Ⅱ）令$w=\sqrt{x}$，先建立y关于w的线性回归方程，由于$\widehatd=\frac{{\sum_{i=1}^8{（{w_i}-\overline w）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^8{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}}}$=$\frac{108.8}{16}=68$，
∴$\widehatc=\overline y-\widehatd\overline w$=563-68×6.8=100.6．
∴y关于w的线性回归方程为$\widehaty=100.6+68w$，
∴y关于x的回归方程为$\widehaty=100.6+68\sqrt{x}$．…（6分）
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值$\widehaty=100.6+68\sqrt{49}$=576.6，$\widehatz=576.6×0.2-49=66.32$．…（9分）
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值$\widehatz=0.2（100.6+68\sqrt{x}）-x=-x+13.6\sqrt{x}+20.12$，
∴当$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}=6.8$，即x=46.24时，$\widehatz$取得最大值．
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大．…（12分）

点评 本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．