Question

△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，已知2B=A+C，b=1，求a+c的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：根据条件求出B，利用正弦定理用角表示a，c，然后利用辅助角公式将三角函数进行化简即可得到结论．

解答： 解：∵2B=A+C，
∴3B=π，
即B=

π

3

．
∵b=1，
∴根据正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

=

1

3 2

=

2 3

3

，
∴a=

2 3

3

sinA，c=

2 3

3

sinC，
即a+c=

2 3

3

sinA+

2 3

3

sinC=

2 3

3

sinA+

2 3

3

sin（

2π

3

-A）=

2 3

3

sinA+

2 3

3

（

3

2

cosA+

1

2

sinA）=

3

sinA+cosA=2sin（A+

π

6

），
∵A+C=

2π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
即1＜2sin（A+

π

6

）≤2，
故a+c的取值范围是（1，2]．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，利用条件将a+c转化为三角函数是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和差的三角公式以及辅助角公式的应用．