Question

如图，一半径为

3

的圆形靶内有一个半径为1的同心圆，将大圆分成两部分，小圆内部区域记为2环，圆环区域记为1环，某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次必定会中靶，且投中靶内各点是随机的．
（Ⅰ）求该同学在一次投掷中获得2环的概率；
（Ⅱ）设X表示该同学在3次投掷中获得的环数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,几何概型

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件A的区域面积和总面积之间的关系，再根据几何概型计算公式给出答案；
（2）根据（1）中投中A区域的概率，不难列出x的分布列并进行数学期望．

解答： 解：（I）设该同学在一次投掷中投中2环的概率为P（A），
由题意可得是几何概型，P（A）=

S内

S大

=

π×12

π× 3 2

=

1

3

∴该同学一次投掷投中2环的概率为

1

3

．
（II）由题意可知X可能的值为3，4，5，6，
P(X=3)=(1-

1

3

)3，P(X=4)

=C

1 3

(

1

3

)(1-

1

3

)2=

4

9

，P(X=5)

=C

2 3

(

1

3

)2(1-

1

3

) =

2

9

，P(X=6)=

C

3 3

(

1

3

)3=

1

27

∴X的分布列为

X	3	4	5	6
P	8 27	4 9	2 9	1 27

∴E(X)=3×

8

27

+4×

4

9

+5×

2

9

+6×

1

27

=4环
答：X的数学期望为4环．

点评：求古典概型的概率的基本步骤为：（1）算出所有基本事件的个数n．（2）求出事件A包含的所有基本事件数m．（3）代入公式，求出P（A）．几何概型中的三种基本度量为长度、面积和体积，在解题时要准确把握，要把问题向它们作合理地转化，要注意古典概型与几何概型的区别（基本事件的有限性和无限性），正确选用几何概型解题．