Question

13．已知双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1和双曲线N：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，其中b＞a＞0，双曲线M和双曲线N交于A，B，C，D四个点，且四边形ABCD的面积为4c²，则双曲线M的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}+3}{2}$
• B． $\sqrt{5}$+3
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• D． $\sqrt{5}$+1

Answer 1

分析 根据四边形ABCD的面积为4c²，可得双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，得交点坐标为：（c，c），其中c是两个双曲线公共的半焦距．将点（c，c）代入双曲线M（或双曲线N）的方程，结合b²=c²-a²化简整理，得e⁴-3e²+1=0，解之得到双曲线M的离心率．

解答 解：双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1和双曲线N：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴两个双曲线的焦距相等，
∵四边形ABCD的面积为4c²，
∴双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，
∴交点坐标为：（c，c），代入双曲线M（或双曲线N）的方程，得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{c}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$=1，
去分母，得c²（c²-a²）-a²c²=a²（c²-a²），
整理，得c⁴-3a²c⁴+a⁴=0，所以e⁴-3e²+1=0，
∵e＞1，∴解之得e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故选C．

点评 本题给出两个形状相同，但焦点分别在x、y上的双曲线，四边形ABCD的面积为4c²，求该双曲线的离心率，着重考查了双曲线的简单性质与基本概念，属于中档题．