Question

8．已知向量$\overrightarrow a$=（cos（$\frac{π}{2}$-x），sin（$\frac{π}{2}$+x）），$\overrightarrow b$=（sin（$\frac{π}{2}$+x），sinx），若x=-$\frac{π}{12}$，则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 进行化简即可求出$\overrightarrow{a}=（sinx，cosx），\overrightarrow{b}=（cosx，sinx）$，根据$x=-\frac{π}{12}$即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，及$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow{b}|$的值，从而求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，从而得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：$\overrightarrow{a}=（sinx，cosx），\overrightarrow{b}=（cosx，sinx）$，且$x=-\frac{π}{12}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2sinxcosx=sin2x$=$sin（-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{2}$，$|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow{b}|=1$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-\frac{1}{2}}{1×1}=-\frac{1}{2}$；
∴向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．
故选D．

点评 考查三角函数的诱导公式，二倍角的正弦公式，向量夹角的余弦公式．