Question

2．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2-x）=f（x），且在[-3，-2]上是减函数，α，β是锐角三角形的两个内角，下列不等式正确的是（　　）

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（sinα）＜f（cosβ）
• C． f（cosα）＜f（cosβ）
• D． f（sinα）＞f（sinβ）

Answer 1

分析 由定义在R上的偶函数f（x）满足f（2-x）=f（x）得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行转化，确定函数f（x）在区间[0，1]上的单调性，即可判断得到答案．

解答 解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（2-x）=f（x），∴函数f（x）为周期函数，周期T=2，
∵f（x）在[-3，-2]上为减函数，
∴f（x）在[-1，0]上为减函数，
∵f（x）为偶函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反，
∴f（x）在[0，1]上为单调增函数．
∵在锐角三角形中，则π-α-β＜$\frac{π}{2}$，
∴α+β＞$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$＞α＞$\frac{π}{2}$-β＞0，
∴sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，
∵f（x）在[0，1]上为单调增函数．
∴f（sinα）＞f（cosβ）．
故选A．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，三角函数的图象和性质，综合考查了函数的奇偶性、周期性和单调性的应用，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．