题目内容
定义：对任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数．符号{x}表示x的小数部分，它们之间的关系是{x}=x
-[x]，例如：[1，3]=1，[-1，3]=-2，{1，3}=0.3，{-1，3}=0.7，根据以上信息，计算：
（Ⅰ）函数f（x）=[
][-
]（0＜x＜20）的值域为 ；
（Ⅱ）{
}+{
}+{
}+…+{
}= ．
-[x]，例如：[1，3]=1，[-1，3]=-2，{1，3}=0.3，{-1，3}=0.7，根据以上信息，计算：
（Ⅰ）函数f（x）=[
| x |
| 10 |
| 10 |
| x |
（Ⅱ）{
| 2014 |
| 2015 |
| 20142 |
| 2015 |
| 20143 |
| 2015 |
| 20142014 |
| 2015 |
考点：函数的值
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：（Ⅰ）函数f（x）=[
][-
]=
，从而写出值域；
（Ⅱ）利用二项展开式可化简为{
}=
，从而求解．
| x |
| 10 |
| 10 |
| x |
|
（Ⅱ）利用二项展开式可化简为{
| 2014n |
| 2015 |
|
解答：
解：（Ⅰ）函数f（x）=[
][-
]=
，
则其值域为{0，-1}；
（Ⅱ）∵2014n=（2015-1）n=
2015n+
2015n-1（-1）1+…+
（-1）n，
∴{
}=
，
则{
}+{
}+{
}+…+{
}
=（
+
）+（
+
）+…+（
+
）
=2014×
=1007．
故答案为：{-1，0}，1007．
| x |
| 10 |
| 10 |
| x |
|
则其值域为{0，-1}；
（Ⅱ）∵2014n=（2015-1）n=
| C | 0 n |
| C | 1 n |
| C | n n |
∴{
| 2014n |
| 2015 |
|
则{
| 2014 |
| 2015 |
| 20142 |
| 2015 |
| 20143 |
| 2015 |
| 20142014 |
| 2015 |
=（
| 2014 |
| 2015 |
| 1 |
| 2015 |
| 2014 |
| 2015 |
| 1 |
| 2015 |
| 2014 |
| 2015 |
| 1 |
| 2015 |
=2014×
| 1 |
| 2 |
故答案为：{-1，0}，1007．
点评：本题考查了分段函数与二项展开式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x+3，则f(-
)=（ ）
| 1 |
| 4 |
| A、1 | ||
| B、-1 | ||
| C、0 | ||
D、-
|
已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x）且在[1，+∞）上是增函数，不等式f（ax+2）≤f（x-1）对任意x∈[
，1]恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
| 1 |
| 2 |
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