Question

18．设点F₁、F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F₁F₂|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M作x轴的垂线，垂足恰为线段OF₂的中点，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． 2

Answer 1

分析 由题意M的坐标为M（ $\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}c}{2}$），代入双曲线方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意点F₁、F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F₁F₂|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M作x轴的垂线，垂足恰为线段OF₂的中点，
△OMF₂是正三角形，M的坐标为M（ $\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}c}{2}$），代入双曲线方程可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1
∴e⁴-8e²+4=0，
∴e²=4+2$\sqrt{3}$
∴e=$\sqrt{3}$+1．
故选：C．

点评 本题考查双曲线与圆的性质，考查学生的转化思想以及计算能力，是中档题．