Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PDC⊥底面ABCD，已知△PDC是等腰直角三角形，其中∠PDC为直角，底面ABCD是边长为2的正方形，E是PC的中点，F是PB上的点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面EDB； 
（Ⅱ）若

PB

=3

PF

，求证：PB⊥平面EFD；  
（Ⅲ）求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）连结AC交BD于点O，连结EO，由EO为△CPA的中位线，能证明PA∥平面EDB．
（Ⅱ）由已知条件推导出PD⊥DC，PD⊥平面ABCD．以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能证明PB⊥平面EFD．
（Ⅲ）分别求出平面PBD的法向量和平面PBC的法向量，利用向量法能求出二面角C-PB-D的大小．

解答： （本题满分14分）
（Ⅰ）证明：连结AC交BD于点O，连结EO，
因为ABCD是正方形，所以O为AC中点，
又因为E为PC中点，所以EO为△CPA的中位线，所以EO∥PA．…（2分）
因为EO?平面EDB，PA?平面EDB，
所以PA∥平面EDB．…（4分）
（Ⅱ）因为侧面PDC⊥底面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，
又因为侧面PDC是等腰直角三角形，其中∠PDC为直角，
所以PD⊥DC．又PD?平面PCD，所以PD⊥平面ABCD．
又AD⊥CD，得DA、DC、DP两两垂直．
如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．…（1分）
由题意知D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），
E（0，1，1）A （2，0，0），C （0，2，0）．
设F（x，y，z），由

PB

=3

PF

，
得：（2，2，-2）=3（x，y，z-2），
所以x=

2

3

，y=

2

3

，z=

4

3

，
所以F(

2

3

，

2

3

，

4

3

)．…（2分）
又

PB

=(2，2，-2)，

DE

=(0，1，1)，

DF

=(

2

3

，

2

3

，

4

3

)，
所以

PB

•

DE

=0，

PB

•

DF

=0…（4分）  
所以PB⊥DE，PB⊥DF，且DE∩DF于D．
所以PB⊥平面EFD．…（5分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知 PD⊥平面ABCD，又因为AC?平面ABCD，
所以AC⊥PD，又AC⊥BD，所以AC⊥平面PBD．
所以平面PBD的法向量是

AC

=(-2，2，0)．…（1分）
设平面PBC的法向量

n

=（x，y，z） 
由（Ⅱ）知

PB

=(2，2，-2)，

PC

=(0，2，-2)，
则有

n • PB =0 n • PC =0

，
所以

2x+2y-2z=0 2y-2z=0

，
令z=1 得n=（0，1，1）．…（3分）  
则 cos?

AC

，

n

＞=

AC • n

| AC |•| n |

=

-2×0+2×1+0×1

2 2 • 2

=

1

2

．…（4分）
由图可知二面角C-PB-D的平面角为锐角，
所以二面角C-PB-D的大小为60°．…（5分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．