Question

6．如果lg3，lg（sinx-$\frac{1}{2}$），lg（1+y）依次构成等差数列，那么（　　）

• A． y有最小值为-1，最大值为-$\frac{11}{12}$
• B． y有最大值为1，无最小值
• C． y无最小值，有最大值为-$\frac{11}{12}$
• D． y有最小值为-1，最大值为1

Answer 1

分析 lg3，lg（sinx-$\frac{1}{2}$），lg（1+y）依次构成等差数列，可得2lg（sinx-$\frac{1}{2}$）=lg3+lg（1+y），$sinx＞\frac{1}{2}$，y＞-1．化为y=$\frac{1}{3}（sinx-\frac{1}{2}）^{2}$-1，利用二次函数与三角函数的单调性即可得出结论．

解答 解：∵lg3，lg（sinx-$\frac{1}{2}$），lg（1+y）依次构成等差数列，
∴2lg（sinx-$\frac{1}{2}$）=lg3+lg（1+y），$sinx＞\frac{1}{2}$，y＞-1．                                                                                                                                                  
∴$（sinx-\frac{1}{2}）^{2}$=3（1+y），
化为y=$\frac{1}{3}（sinx-\frac{1}{2}）^{2}$-1，当sinx=1时，y有最大值$-\frac{11}{12}$，无最小值．
故选：C．

点评 本题考查了二次函数与三角函数的单调性、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．