Question

11．已知二次函数f（x）=ax²+（b+6）x-a+ab，且不等式f（x）＞0的解集为（-2，3）．
（1）求a，b的值；
（2）试问：c为何值时，不等式ax²+bx+c≤0的解集为R．

Answer 1

分析 （1）根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值；
（2）利用判别式△≤0，列出不等式即可求出c的取值范围．

解答 解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集为（-2，3），
∴-2，3是方程ax²+（b+6）x-a+ab=0的两根，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2+3=-\frac{b+6}{a}}\\{-2×3=\frac{-a+ab}{a}}\end{array}\right.$，…3分
且a＜0；
解得a=-1，b=-5；…6分
（2）由题意可得，要使-x²-5x+c≤0的解集为R，
即x²+5x-c≥0对x∈R恒成立，
则只需△≤0，…9分
即25+4c≤0，
解得c≤-$\frac{25}{4}$；
∴当c≤-$\frac{25}{4}$时，不等式ax²+bx+c≤0的解集为R．…12分．

点评 本题考查了不等式与方程的应用问题，也考查了根与系数关系的应用问题，是基础题目．