Question

已知点E（2，1）和圆O：x²+y²=16．
（Ⅰ）过点E的直线l被圆O所截得的弦长为4

3

，求直线l的方程；
（Ⅱ）试探究是否存在这样的点M：M是圆O内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEM的面积S_△OEM=2？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）分类讨论，设出直线方程，利用直线l被圆O所截得的弦长，求出斜率，即可得出直线的方程；
（Ⅱ）连结OE，点A（-4，0），B（4，0）满足S_△OEA=S_△OEB=2，分别过A、B作直线OE的两条平行线l₁、l₂，利用M是圆O内部的整点，即可求得结论．

解答： 解：（Ⅰ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=2，满足直线l被圆O所截得的弦长为4

3

；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y-1=k（x-2），
即kx-y-2k+1=0．
∵过点E的直线l被圆O所截得的弦长为4

3

，
∴圆心到直线的距离为2，∴

|-2k+1|

k2+1

=2，
∴k=-

3

4

，∴直线的方程为3x+4y-10=0．
综上，所求方程为：x=2或3x+4y-10=0．
（Ⅱ）连结OE，点A（-4，0），B（4，0）满足S_△OEA=S_△OEB=2，分别过A、B作直线OE的两条平行线l₁、l₂．
∵kOE=

1

2

，∴直线l₁、l₂的方程分别为：y=

1

2

(x+4)、y=

1

2

(x-4)
设点M（x，y）（x，y∈Z），则x²+y²＜16．
分别解

x2+y2＜16 y= 1 2 (x+4)

与

x2+y2＜16 y= 1 2 (x-4)

，得-4＜x＜2

2

5

与-2

2

5

＜x＜4
∵x，y∈Z，∴x为偶数，在(-4，2

2

5

)上x=-2，0，2对应的y=1，2，3；
在(-2

2

5

，4)上x=-2，0，2，对应的y=-3，-2，-1，
∴满足条件的点M存在，共有6个，它们的坐标分别为：（-2，1），（0，2），（2，3），（-2，-3），（0，-2），（2，-1）．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查存在性问题的研究，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论是数学思想，有一定的难度．