Question

11．在平面直角坐标系中，已知△PAB的周长为8，且点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）试求顶点P的轨迹C₁的方程；
（Ⅱ）若动点P₁（x₁，y₁）在曲线C₁上，试求动点$Q（\frac{x_1}{3}，\frac{y_1}{{2\sqrt{2}}}）$的轨迹C₂的方程；
（Ⅲ）过点C（3，0）作直线l与曲线C₂相交于M，N两点，试探究是否存在直线l，使得点N恰好是线段CM的中点．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定顶点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，但要除去椭圆的左右两个顶点，即可求顶点P的轨迹C₁的方程；
（Ⅱ）若动点P₁（x₁，y₁）在曲线C₁上，利用代入法求动点$Q（\frac{x_1}{3}，\frac{y_1}{{2\sqrt{2}}}）$的轨迹C₂的方程；
（Ⅲ）假设存在直线l，使得点N恰好是线段CM的中点．设M（x₂，y₂），x₂≠±1，则x₂²+y₂²=1，点N在曲线C₂上，所以（$\frac{{x}_{2}+3}{2}$）²+（$\frac{{y}_{2}}{2}$）²=1，③．联立②③，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意得顶点P满足|PA|+|PB|=6，故顶点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，但要除去椭圆的左右两个顶点．椭圆的半焦距c=1，长半轴长a=3，所以b=2$\sqrt{2}$，
故轨迹的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1（x≠±3）．----------------------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）由题意，动点P₁（x₁，y₁）在曲线C₁上，故$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$=1（x₁≠±3）．--------①．
设Q（x，y），则∵$Q（\frac{x_1}{3}，\frac{y_1}{{2\sqrt{2}}}）$，代入①得x²+y²=1（x≠±1）．
故动点$Q（\frac{x_1}{3}，\frac{y_1}{{2\sqrt{2}}}）$的轨迹C₂的方程为x²+y²=1（x≠±1）．-----------（8分）
（Ⅲ）假设存在直线l，使得点N恰好是线段CM的中点．设M（x₂，y₂），x₂≠±1，则x₂²+y₂²=1 ②．
∵点N恰好是线段CM的中点，∴N（$\frac{{x}_{2}+3}{2}$，$\frac{{y}_{2}}{2}$），
又点N在曲线C₂上，所以（$\frac{{x}_{2}+3}{2}$）²+（$\frac{{y}_{2}}{2}$）²=1，③．
联立②③，解得x₂=-1，y₂=0，与x₂≠±1矛盾．
故不存在满足题意的直线l．---------------（12分）

点评 本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．