Question

2．已知函数$f（x）=\frac{{2-m•{2^x}}}{2^x}$，函数$g（x）={log_a}（{x^2}+x+2）$（a＞0且a≠1）在$[{-\frac{1}{3}\;，\;1}]$上的最大值为2，若对任意的x₁∈[-1，2]，存在x₂∈[0，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞\;，\;-\frac{2}{3}}]$
• B． $[{\frac{2}{3}\;，\;+∞}）$
• C． $（{-∞\;，\;-\frac{1}{2}}]$
• D． $（{-∞\;，\;\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 由已知函数g（x）=log_a（x²+x+2）（a＞0，且a≠1）在[-$\frac{1}{3}$，1]上的最大值为2，先求出a值，进而求出两个函数在指定区间上的最小值，结合已知，分析两个最小值的关系，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{2-m{•2}^{x}}{{2}^{x}}$=2^1-x-m，
当x₁∈[-1，2]时，f（x₁）∈[$\frac{1}{2}$-m，4-m]；
∵t=x²+x+2的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
故x∈[-$\frac{1}{3}$，1]时，t∈[$\frac{16}{9}$，4]，
若函数g（x）=log_a（x²+x+2）（a＞0，且a≠1）在[-$\frac{1}{3}$，1]上的最大值为2，
则a=2，
即g（x）=log₂（x²+x+2），
当x₂∈[0，3]时，g（x₂）∈[1，log₂14]，
若对任意x₁∈[-1，2]，存在x₂∈[0，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），
则$\frac{1}{2}$-m≥1，
解得m∈（-∞，-$\frac{1}{2}$]，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，难度中档．