Question

1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知acosB=bcosA，边BC上的中线长为4，则△ABC面积的最大值是（　　）

• A． 9
• B． $\frac{28}{3}$
• C． $\frac{32}{3}$
• D． 12

Answer 1

分析 根据acosB=bcosA得出A=B，再根据余弦定理和中线长求出a²的值，写出△ABC的面积，计算它的最大值即可．

解答 解：△ABC中，acosB=bcosA，
 由正弦定理得sinAcosB=sinBcosA，
∴sin（A-B）=0，
故A=B；
 由A=B知a=b，
又a²=b²+c²-2bccosA，
∴c=2acosA；
△ABD中，

由余弦定理得4²=c²+${（\frac{a}{2}）}^{2}$-2c•$\frac{a}{2}$cosB，
∴a²=$\frac{64}{1+{8cos}^{2}A}$；
∴△ABC的面积为
S=$\frac{1}{2}$acsinA
=$\frac{64sinAcosA}{{sinA}^{2}+{9cos}^{2}A}$
=$\frac{64tanA}{{tan}^{2}A+9}$
=$\frac{64}{tanA+\frac{9}{tanA}}$，
由基本不等式得
S≤$\frac{64}{2×\sqrt{tanA•\frac{9}{tanA}}}$=$\frac{32}{3}$，
当且仅当tanA=3时，等号成立．
∴△ABC面积的最大值为$\frac{32}{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力，属于综合性题目．