Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A₁A=AD=2BC=2，AB=1．点E在棱AB上，平面A₁EC与棱C₁D₁相交于点F．
（Ⅰ）求证：A₁F∥平面B₁CE； 
（Ⅱ）求证：AC⊥平面CDD₁C₁；
（Ⅲ）写出三棱锥B₁-A₁EF体积的取值范围．（结论不要求证明）

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明A₁F∥平面B₁CE； 
（Ⅱ）根据线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面CDD₁C₁；
（Ⅲ）根据三棱锥的体积公式即可得到结论．

解答： （Ⅰ）证明：因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱柱，
所以平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁．
又因为平面ABCD∩平面A₁ECF=EC，
平面A₁B₁C₁D₁∩平面A₁ECF=A₁F，
所以 A₁F∥CE．  …（3分）
又 A₁F?平面B₁CE，CE?平面B₁CE，
所以 A₁F∥平面B₁CE．…（6分）
（Ⅱ）证明：在四边形ABCD中，
因为∠BAD=90°，AD∥BC，且AD=2BC，AD=2，AB=1，
所以 AC²=1²+1²=2，CD²=1²+1²=2．
所以 AC²+CD²=AD²，
所以∠ACD=90°，即AC⊥CD．…（7分）
因为 A₁A⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以 A₁A⊥AC．
因为在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A∥C₁C，
所以 C₁C⊥AC．…（9分）
又因为 CD，C₁C?平面CDD₁C₁，CD∩C₁C=C，
所以 AC⊥平面CDD₁C₁．…（11分）
（Ⅲ）解：三棱锥B₁-A₁EF的体积的取值范围是[

1

3

，

2

3

]．…（14分）

点评：本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，根据相应的判定定理是解决本题的关键．