Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=$\frac{a+b}{2}$，则C的最大值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理将条件进行转化化简，结合两角和差的正弦公式及余弦定理进行求解即可．

解答 解：∵acosB+bcosA=$\frac{a+b}{2}$，
∴由正弦定理得：$sinAcosB+sinBcosA=\frac{sinA+sinB}{2}$，
∴2sin（A+B）=sinA+sinB，而A+B=π-C，
∴2sinC=sinA+sinB，即$c=\frac{a+b}{2}$．
∴$cosC=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-（\frac{a+b}{2}）^{2}}{2ab}$=$\frac{3}{8}（\frac{b}{a}+\frac{a}{b}）-\frac{1}{4}≥\frac{1}{2}$，当且仅当a=b时取等号，
∴C的最大值为$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查正弦定理的应用，根据正弦定理结合两角和差的正弦公式及余弦定理是解决本题的关键，是基础题．