Question

设点P是函数y=-

x

（x+1）图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（　　）

• A、θ∈（

  2π

  3

  ，π]
• B、θ∈（

  π

  2

  ，

  3π

  4

  ]
• C、θ∈（

  π

  2

  ，

  2π

  3

  ]
• D、θ∈（

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,三角函数的图像与性质

分析：求出导数，再利用基本不等式求其范围，从而得出切线的倾斜角为θ的正切值的取值范围，而0≤θ＜π，从而可求θ的取值范围．

解答： 解：∵函数y=-

x

（x+1）的导数y′=-（

1

2

1

x

（x+1）+

x

）=-

3x+1

2 x

=-（

3

2

x

+

1

2 x

）≤-2

3 2 x • 1 2 x

=-

3

，（当且仅当

3

2

x

=

1

2 x

取等号），
∴y′∈（-∞，-

3

]，
∴tanθ≤-

3

，又0≤θ＜π，
∴

π

2

＜θ≤

2π

3

．
故选C．

点评：本题考查导数的几何意义，关键在于通过导数解决问题，难点在于对切线倾斜角的理解与应用，属于中档题．