Question

19．设|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1，则$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影的取值范围是（-$\sqrt{5}$，1]．

Answer 1

分析 由条件求得|$\overrightarrow{OP}$|、$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$的值，可得$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影为x=$\frac{λ}{\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}}$，分类讨论，求得$\frac{1}{x}$的范围，可得x的范围．

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1，
∴|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{{[λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}]}^{2}}$=$\sqrt{{λ}^{2}+0+{4（1-λ）}^{2}}$=$\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$•[λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$]=λ•${\overrightarrow{OA}}^{2}$+（1-λ）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=λ•${\overrightarrow{OA}}^{2}$=λ．
设$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影为x，则 $\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=x•|$\overrightarrow{OP}$|=x•$\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}$=λ，
∴x=$\frac{λ}{\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}}$．
当λ=0时，x=0，当λ＞0时，$\frac{1}{x}$=$\sqrt{\frac{{5λ}^{2}-8λ+4}{{λ}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4}{{λ}^{2}}-\frac{8}{λ}+5}$=$\sqrt{{（\frac{2}{λ}-2）}^{2}+1}$，故当λ=1时，$\frac{1}{x}$取得最小值，为1，
即$\frac{1}{x}$≥1，∴0＜x≤1．
当λ＜0时，$\frac{1}{x}$=-$\sqrt{\frac{{5λ}^{2}-8λ+4}{{λ}^{2}}}$=-$\sqrt{\frac{4}{{λ}^{2}}-\frac{8}{λ}+5}$=-$\sqrt{{（\frac{2}{λ}-2）}^{2}+1}$＜-$\sqrt{4+1}$=-$\sqrt{5}$，即 $\frac{1}{x}$＜-$\sqrt{5}$，
∴-$\sqrt{5}$＜x＜0．
综上可得，x∈（-$\sqrt{5}$，1]，
故答案为：（-$\sqrt{5}$，1]．

点评 本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是解题的关键，是中档题．