Question

11．设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）证明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=x+ax²+blnx，知f′（x）=1+2ax+$\frac{b}{x}$，由y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2，知$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1+a=0}\\{f′（1）=1+2a+b=2}\end{array}\right.$，由此能求出a，b．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），由（I）知f（x）=x-x²+3lnx，设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，则g′（x）=-$\frac{（x-1）（2x-3）}{x}$，由此能证明f（x）≤2x-2．

解答 解：（1）∵f（x）=x+ax²+blnx，
∴f′（x）=1+2ax+$\frac{b}{x}$，
∵y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1+a=0}\\{f′（1）=1+2a+b=2}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=3．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），
由（1）知f（x）=x-x²+3lnx，
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，
则g′（x）=-$\frac{（x-1）（2x-3）}{x}$，
当0＜x＜1时，g（x）′＞0；当x＞1时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）单调增加，在（1，+∞）单调减少．
∴g（x）_max=g（1）=0．
∴g（x）=f（x）-（2x-2）≤0，
∴f（x）≤2x-2．

点评 本题考查满足条件的实数值的求法，考查不等式的证明．解题要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．