Question

已知函数f（x）=2lnx+

1

x

，
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若?x∈[1，+∞）及t∈[1，2]不等式f（x）≥t²-2mt+2恒成立，求实数m取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）将问题转化为t²-2mt+1≤0对?t∈[1，2]恒成立，得不等式组，解出即可．

解答： 解：（1）f′(x)=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

=0⇒x=

1

2

，
列表如下：

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值2-2ln2	↗

所以，f（x）单调递减区间为(0，

1

2

)，单调递增区间为(

1

2

，+∞)，极小值是2-2ln2，无极大值．
（2）由（1）可知f（x）在（1，+∞）上单调递增
所以t²-2mt+2≤f（x）_min=f（1）=1即t²-2mt+1≤0对?t∈[1，2]恒成立
所以

1-2m+1≤0 4-4m+1≤0

，解得m≥

5

4

．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查了导数的应用，不等式恒成立问题，是一道综合题．