Question

设矩阵A=

.

5 3 -2 0

.

，若存在一矩阵P=

.

-1 3 1 -2

.

使得A=PBP^-1．试求：
（Ⅰ）矩阵B； 
（Ⅱ）B³．

Answer 1

考点：变换、矩阵的相等

专题：矩阵和变换

分析：（Ⅰ）设矩阵B=

a b c d

，则由A=PBP^-1，可得AP=PB，利用矩阵乘法，列出方程组，求出a、b、c、d 的值，即可求出矩阵B；
（Ⅱ）首先根据矩阵的乘法，求出B²，然后再和矩阵B相乘，求出B³即可．

解答： 解：（Ⅰ）设矩阵B=

a b c d

，则由A=PBP^-1，可得AP=PB，
即

5 3 -2 0

-1 3 1 -2

=

-1 3 1 -2

a b c d

，
整理得

-a+3c=-2 -b+3d=9 a-2c=2 b-2d=-6

，
解得a=2，b=0，c=0，d=3，
即B=

2 0 0 3

；      
（Ⅱ）由（1）知B2=

2 0 0 3

 

2 0 0 3

=

4 0 0 9

，
所以B3=B2B=

4 0 0 9

 

2 0 0 3

=

8 0 0 27

．

点评：本题主要考查矩阵的运算等基础知识，考查学生的运算求解能力，考查化归与转化思想的运用，属于基础题．