Question

若三角形的三个内角的弧度数分别为α，β，γ，则

4

α

+

1

β+γ

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：利用三角形的内角和定理和导数研究函数的单调性极值即可得出．

解答： 解：∵三角形的三个内角的弧度数分别为α，β，γ，
∴α+β+γ=π，∴β+γ=π-α．
∴

4

α

+

1

β+γ

=

4

α

+

1

π-α

，
令f（α）=

4

α

+

1

π-α

，α∈（0，π）．
则f′(α)=-

4

α2

+

1

(π-α)2

=

(2π-α)(3α-2π)

α2(π-α)2

，
令f′（α）=0，解得α=

2π

3

．
当0＜α＜

2π

3

时，f′（α）＜0，函数f（α）单调递减；当

2π

3

＜α＜π时，f′（α）＞0，函数f（α）单调递增．
因此当α=

2π

3

时，f（α）取得极小值即最小值，f(

2π

3

)=

4

2π 3

+

1

π- 2π 3

=

9

π

．
∴

4

α

+

1

β+γ

的最小值为

9

π

．
故答案为：

9

π

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、三角形的内角和定理，属于中档题．