Question

设f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求a的值，并求f（x）的极值；
（Ⅱ）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）+kx²e^x存在零点，并求出零点．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点的判定定理

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，即可求a的值，确定函数的单调性，可求f（x）的极值；
（Ⅱ）由y=f（x）+kx²e^x=e^x[（k-1）x²+x+1]=0，得（k-1）x²+x+1=0，分类讨论，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）…（2分）
由已知条件知，f'（1）=0，故a+3+2a=0⇒a=-1…（3分）
于是f'（x）=e^x（-x²-x+2）=-e^x（x+2）（x+1）…（4分）
故当x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）时，f'（x）＜0； 当x∈（-2，1）时，f'（x）＞0．
从而f（x）在x=-2处取得极小值-5e^-2，在x=1处取得极大值e…（8分）
（Ⅱ）由y=f（x）+kx²e^x=e^x[（k-1）x²+x+1]=0，得（k-1）x²+x+1=0（*）…（10分）
当k=1时，方程（*）有一解x=-1，函数y=f（x）+kx²e^x有一零点x=-1；…（11分）
当k≠1时，方程（*）有二解?△=-4k+5＞0?k＜

5

4

，函数y=f（x）+kx²e^x有两个零点x=

-1± -4k+5

2(k-1)

；
方程（*）有一解?△=0?k=

5

4

，函数y=f（x）+kx²e^x有一个零点x=-2…（13分）
综上，当k=1时，函数有一零点x=-1；当k=

5

4

时，函数有一零点x=-2；
当k＜

5

4

且k≠1时，函数y=f（x）+kx²e^x有两个零点x=

-1± -4k+5

2(k-1)

…（14分）

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．