Question

已知椭圆：

x2

3

+y²=1，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点．
（Ⅰ）求证O到直线AB的距离为定值；
（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若k存在，则设直线AB：y=kx+m，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，由OA⊥OB，则有x₁x₂+y₁y₂=0，化简整理，再由点到直线的距离，即可得到定值；若AB的斜率不存在时，显然成立；
（Ⅱ）运用弦长公式，化简整理，再由基本不等式，即可得到最大值，当斜率不存在时，经检验|AB|＜2也成立，则有△OAB面积的最大值．

解答： （Ⅰ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若k存在，则设直线AB：y=kx+m．
由

y=kx+m x2+3y2=3

，得
（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
则x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2-3

1+3k2

，①
由OA⊥OB，
知x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
将①代入，得4m²=3k²+3，即有m²=

3

4

（k²+1），
则有原点到直线AB的距离d=

|m|

1+k2

=

3

2

，
当AB的斜率不存在时，|x₁|=|y₁|，可得|x₁|=

3

2

=d，依然成立．
所以点O到直线AB的距离为定值

3

2

．
（Ⅱ）解：|AB|²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）[（

6km

1+3k2

）²-4×

3m2-3

1+3k2

]
=

3(9k4+10k2+1)

9k4+6k2+1

=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

6+6

=4，
当且仅当9k²=

1

k2

，即k=±

3

3

时等号成立．
当斜率不存在时，经检验|AB|＜2．
所以S_△OAB≤

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，
即有△OAB面积的最大值为

3

2

．

点评：本题考查椭圆的方程和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用，属于中档题．