Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界．已知函数f(x)=1+a(

1

2

)x+(

1

4

)x，g(x)=log

1

2

1-ax

x-1

．
（1）若函数g（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）若a=-1，判断g（x）在区间[

5

3

，3]上的单调性（不必证明），并求g（x）上界的最小值；
（3）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由g（x）为奇函数，得：

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

，解出即可；
（2）由（1）得：g（x）=

log	1+x x-1 1 2

，根据函数的单调性，故函数g（x）在区间[

5

3

，3]上的上界的最小值为2．
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．P（t₁）-p（t₂）=

(t1-t2)(2t1t2+1)

t1t2

＜0，得h（t）在[1，+∞）上递减，显然p（t）在[1，+∞）上递增，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）因为函数g（x）为奇函数，
所以g（-x）=-g（x）即：

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

，
得a=±1，而当a=1时不合题意，
故a=-1；
（2）由（1）得：g（x）=

log	1+x x-1 1 2

，
函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
所以函数g（x）在区间[

5

3

，3]上单调递增，
函数g（x）在区间[

5

3

，3]上的值域为[-2，-1]，
所以|g（x）|≤2，故函数g（x）在区间[

5

3

，3]上的上界的最小值为2．
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
-3≤f（x）≤3，-4-(

1

4

)x≤a(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x．
∴[-4•2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2•2x-(

1

2

)x]min，
设2^x=t，h（t）=-4t-

1

t

，p（t）=2t-

1

t

，
由x∈[0，+∞）得 t≥1，
设1≤t₁＜t₂，h（t₁）-h（t₂）=

(t1-t2)(4t1t2-1)

t1t2

＞0，
P（t₁）-p（t₂）=

(t1-t2)(2t1t2+1)

t1t2

＜0，
所以h（t）在[1，+∞）上递减，显然p（t）在[1，+∞）上递增，
h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，
p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1．
所以实数a的取值范围为[-5，1]．

点评：本题考查了函数的值域问题，函数的最值问题，考查了新定义问题，本题属于中档题．