Question

设f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）当x∈[0，2]时，求g（x）的最大值和最小值；
（2）如果对任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导，由导数确定函数在[0，2]上的单调性，由单调性求最值；
（2）由（1）知，在区间[

1

2

，2]上，g_max（x）=g（2）=1；从而原问题等价于当x∈[

1

2

，2]时，f（x）=

a

x

+xlnx≥1恒成立，用分离系数法可得a≥x-x²lnx恒成立，从而转化为求函数h（x）=x-x²lnx在区间[

1

2

，2]上的最大值，利用求导求单调性，再求最值即可．

解答： 解：（1）对于函数g（x）=x³-x²-3，x∈[0，2]，
g′（x）=3x²-2x，
令g′（x）=0，得x=0或x=

2

3

；
当x变化时，g（x）、g′（x）变化情况如下表：

x	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2
g′（x）	0	-	0	+	+
g（x）	-3	递减	极（最）小值- 85 27	递增	1

由上表可知：g_min（x）=-

85

27

，g_max（x）=g（2）=1，
（2）由（1）知，在区间[

1

2

，2]上，g_max（x）=g（2）=1．
则原问题等价于当x∈[

1

2

，2]时，f（x）=

a

x

+xlnx≥1恒成立，
等价于a≥x-x²lnx恒成立，
记h（x）=x-x²lnx，h′（x）=1-2xlnx-x，h′（1）=0；
记m（x）=1-2xlnx-x，m′（x）=-3-2lnx，
∵x∈[

1

2

，2]，
∴m′（x）=-3-2lnx＜0，
∴m（x）=1-2xlnx-x在[

1

2

，2]上递减，
且当x∈[

1

2

，1）时，h′（x）＞0，x∈（1，2]时，h′（x）＜0，
即函数h（x）=x-x²lnx在区间[

1

2

，1）上递增，在区间（1，2]上递减，
∴h_max（x）=h（1）=1，
∴a≥1．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题的处理方法，化简比较困难，属于难题．