Question

已知{a_n}为等差数列，0＜d＜1，a₅≠

kπ

2

，sin²a₃+2sina₅cosa₅=sin²a₇，S_n为数列{a_n}的前n项和，若S_n≥S₁₀对一切n∈N^*都成立，则首项a₁的取值范围是（　　）

• A、[-

  9

  8

  π，-π）
• B、[-

  9

  8

  π，-π]
• C、（-

  5

  4

  π，-

  9

  8

  π）
• D、[-

  5

  4

  π，-

  9

  8

  π]

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列,三角函数的求值

分析：先确定d=

π

8

，可得S_n=

π

16

n2+(a1-

π

16

)n，对称轴n=

1

2

(1-

16a1

π

)，利用S_n≥S₁₀对一切n∈N^*都成立，可得9.5≤

1

2

(1-

16a1

π

)≤10.5，即可求出首项a₁的取值范围．

解答： 解：∵sin²a₃+2sina₅cosa₅=sin²a₇，
∴2sina₅cosa₅=2sin

a3+a7

2

cos

a7-a3

2

•2cos

a3+a7

2

sin

a7-a3

2

，
∴sin4d=1，
∴d=

π

8

，
∴S_n=

π

16

n2+(a1-

π

16

)n．
对称轴n=

1

2

(1-

16a1

π

)．
∵S_n≥S₁₀对一切n∈N^*都成立，
∴9.5≤

1

2

(1-

16a1

π

)≤10.5，
∴-

5

4

π≤a₁≤-

9

8

π．
故选：D．

点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式和配方法、二次函数的单调性是解题的关键．