Question

10．在某地区2008年至2014年中，每年的居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：

年     份	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.7	3.6	3.3	4.6	5.4	5.7	6.2

对变量t与y进行相关性检验，得知t与y之间具有线性相关关系．
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）预测该地区2017年的居民人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{t}$．

Answer 1

分析 （1）由已知计算$\overline{t}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归方程；
（2）利用回归方程计算2017年的年份代号t=10时$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）由已知表格的数据，计算$\overline{t}$=$\frac{1}{7}$×（1+2+3+4+5+6+7）=4，…（2分）
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$×（2.7+3.6+3.3+4.6+5.4+5.7+6.2）=4.5，…（3分）
$\sum_{i=7}^{7}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-3）×（-1.8）+（-2）×（-0.9）+（-1）×（-1.2）+0×0.1+1×0.9+2×1.2+3×1.7=16.8，…（4分）
$\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\bar t）}^2}}={（-3）^2}+{（-2）^2}+{（-1）^2}+{0^2}+{1^2}+{2^2}+{3^2}=28$，…（5分）
∴回归系数为$\hat b=\frac{16.8}{28}=0.6$，…（6分）
∴$\hat a=4.5-0.6×4=2.1$；        …（7分）
∴y关于t的线性回归方程是$\stackrel{∧}{y}$=0.6t+2.1；   …（8分）
（2）由（1），知y关于t的线性回归方程是$\stackrel{∧}{y}$=0.6t+2.1，
将2017年的年份代号t=10代入前面的回归方程，得$\stackrel{∧}{y}$=0.6×10+2.1=8.1；
故预测该地区2017年的居民人均收入为8.1千元．  …（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．