题目内容

在△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，若点M满足
AM
=λ
MB
，且
CM
•
CA
=18，则cos∠MCA=
 
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,平面向量及应用
分析：由
AM
=λ
MB
可得
CM
=
1
1+λ
CA
+
λ
1+λ
CB
，则由
CM
•
CA
=
1
1+λ
CA
2+
λ
1+λ
CA
•
CB
=
1
1+λ
×32=18可求λ，进而可用
CA
、
CB
表示出
CM
，求出|
CM
|，由夹角公式可得答案．
解答： 解：由
AM
=λ
MB
，得
CM
-
CA
=λ(
CB
-
CM
)，
∴
CM
=
1
1+λ
CA
+
λ
1+λ
CB
，
则
CM
•
CA
=
1
1+λ
CA
2+
λ
1+λ
CA
•
CB
=
1
1+λ
×32=18，
解得λ=-
1
2
，
∴
CM
=2
CA
-
CB
，
CM
2=4
CA
2-4
CA
•
CB
+
CB
2=4×32+42=52，
∴|
CM
|=2
13
，
∴cos∠MCA=
CM
•
CA
|
CM
||
CA
|
=
18
2
13
×3
=
3
13
13
，
故答案为：
3
13
13
．
点评：该题注意考查平面向量数量积的运算、三角形法则及平面向量基本定理，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
曲线C极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为
x=-2-
2
t
y=3+
2
t
（t为参数），则曲线C上的点到直线l的距离的最小值为
 
．
观察下列问题：
已知（1-2x）2014=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2014x2014，令x=1，可得a0+a1+a2+…+a2014=（1-2×1）2014=1，令x=-1，可得a0-a1+a2-a3+…+a2014=（1+2×1）2014=32014请仿照这种“赋值法”，令x=0，得到a0=
 
，并求出
a1
2
+
a2
22
+
a3
23
+…+
a2014
22014
=
 
．
设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a-3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程是
 
．
已知直线y=
3
x-
2
与圆x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为
 
．
在极坐标系中，设P是直线l：ρ（cosθ-2sinθ）=6上任一点，Q是圆C：
x=1+
2
cosφ
y=
2
sinφ
（φ为参数）上任一点，则|PQ|的最小值
 
．
已知点A（0，-3），B（4，0），点P是圆x2+y2-2y=0上任意一点，则△ABP面积的最小值是
 
．
已知全集U=R，集合M={x∈R|y=
x-1
}，N={y∈R|y=
x+1
}．则N∩∁UM=（　　）
A、∅
B、{x|0≤x＜1}
C、{x|0≤x≤1}
D、{x|-1≤x＜1}
设i是虚数单位，复数z满足
z
i
=
5
i-2
，则复数z的共轭复数为（　　）
A、-1-2iB、-1+2i
C、1+2iD、1-2i

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