Question

7．f（x）=x²-2x+alnx．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²-2x+2lnx，求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
（Ⅱ）求出导函数$f'（x）=2x-2+\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+a}}{x}$（x＞0），令h（x）=2x²-2x+a，通过△=4-8a，讨论$a≥\frac{1}{2}$时，a＜$\frac{1}{2}$时，$0＜a＜\frac{1}{2}$时，a≤0时，导函数的符号，求解函数的单调区间即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²-2x+2lnx，∴${f^'}（x）=2x-2+\frac{2}{x}$，
∴f'（1）=2，f（1）=-1，∴切线方程为y+1=2（x-1），即2x-y-3=0．
（Ⅱ）$f'（x）=2x-2+\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+a}}{x}$（x＞0），
令h（x）=2x²-2x+a，△=4-8a，当△≤0，即$a≥\frac{1}{2}$时，f'（x）≥0，此时f（x）在定义域内单调递增；$当△＞0，即a＜\frac{1}{2}时，令h（x）=0，得{x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}，{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}$．
当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，0＜x＜x₁或x＞x₂时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
x₁＜x＜x₂时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当a≤0时，0＜x＜x₂时，f（x）单调递减，x＞x₂时，f（x）单调递增．
综上所述：$a≥\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；$0＜a＜\frac{1}{2}$时，f（x）在$（0，\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}）$，$（\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}，+∞）$上单调递增，在$（\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}）$上单调递增；
a≤0时，f（x）在$（0，\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}）$上单调递减，在$（\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}，+∞）$上单调递增．

点评 本题画出函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调区间的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．