题目内容
2．若函数$f（x）=\frac{1}{2}{e^x}$与g（x）的图象关于直线y=x对称，P，Q分别是f（x），g（x）上的动点，则|PQ|的最小值为（ ）| A． | 1-1n2 | B． | 1+1n2 | C． | $\sqrt{2}（1-1n2）$ | D． | $\sqrt{2}（1+1n2）$ |
分析 根据函数关于y=x，求出函数的反函数，利用曲线关于y=x对称的性质，只要求出P到直线y=x的距离的最小值即可得到结论．
解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$ex关于直线y=x对称得g（x），
∴由y=$\frac{1}{2}$ex，得ex=2y，
即x=ln2y，
∴函数f（x）=$\frac{1}{2}$ex的反函数为g（x）=ln2x，
则要使|PQ|取得最小值，
则只需f（x）上的点到直线y=x的距离最小即可，
如图所示：
y′=f′（x）=$\frac{1}{2}$ex，
由y′=f′（x）=$\frac{1}{2}$ex=1，
得ex=2，解得x=ln2，即切点P的横坐标为ln2，此时y=$\frac{1}{2}$eln2=1，
即P（ln2，1），则P到直线y=x的距离d=$\frac{|ln2-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{（1-ln2）\sqrt{2}}{2}$，
∴|PQ|最小值=2d=$\sqrt{2}$（1-ln2），
故选：C．
点评 本题主要考查两点间距离的求法，利用函数y=x的对称性，利用导数求出最小值是解决本题的关键，综合性较强．
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13．设z=1-i（i是虚数单位），则$\frac{1}{z}$+$\overline{z}$=（ ）
| A． | $\frac{1}{2}-2i$ | B． | $\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$i | C． | -$\frac{1}{2}$+2i | D． | $\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$i |
10．某微商赠品费用支出与销售额之间有如下对应数据：
（1）求回归直线方程；
（2）试预测该微商赠品费用支出为8万元时，销售额多大．
参考公式：回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，其中$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．
| x（万元） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y（万元） | 24 | 30 | 38 | 42 | 51 |
（2）试预测该微商赠品费用支出为8万元时，销售额多大．
参考公式：回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，其中$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．