Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=n+a_n，求T_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数列递推式可得a_n+1=4a_n（n≥2）．再由已知求得a₂，验证$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=4$，可得数列{a_n}是以首项为1，公比为4的等比数列，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）直接利用数列的分组求和与等差数列和等比数列前n项和求得T_n=b₁+b₂+…+b_n．

解答 解：（Ⅰ）由题意，a_n+1=3S_n+1，则当n≥2时，a_n=3S_n-1+1．
两式相减，得a_n+1=4a_n（n≥2）．
又∵a₁=1，∴a₂=3a₁+1=4，则$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=4$，
∴数列{a_n}是以首项为1，公比为4的等比数列，
∴{a_n}的通项公式是${a}_{n}={4}^{n-1}$；
（Ⅱ）b_n=n+a_n=n+4^n-1，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（1+2+…+n）+（1+4¹+4²+…+4^n-1）
=$\frac{n（1+n）}{2}+\frac{{1（1-{4^n}）}}{1-4}$=$\frac{{n+{n^2}}}{2}+\frac{{{4^n}-1}}{3}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了数列的分组求和与等差数列和等比数列前n项和的求法，是中档题．