题目内容
8．
如图所示，三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积（单位：cm2）等于（ ）| A． | 75π | B． | 77π | C． | 65π | D． | 55π |
分析 作出几何体的三视图，建立空间坐标系，求出外接球的球心坐标，从而可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积．
解答 解：作出三棱锥的三视图如图所示：
由三视图可知AB，AC，AD两两垂直，且AB=6，AC=5，AD=h，
∴VD-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×5×6×h$=20，∴h=4．
以A为原点，以AC，AB，AD为坐标轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，6，0），C（5，0，0），D（0，0，4）．
设三棱锥的外接球的球心为M（x，y，z），则MA=MB=MC=MD，
∴x2+y2+z2=x2+（y-6）2+z2=（x-5）2+y2+z2=x2+y2+（z-4）2，
解得x=$\frac{5}{2}$，y=3，z=2，
∴外接球的半径r=MA=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=$\frac{\sqrt{77}}{2}$，
∴外接球的表面积S=4πr2=77π．
故选：B．
点评 本题考查了棱锥的三视图，棱锥的体积计算，球与棱锥的位置关系，属于中档题．
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