Question

已知f（x）=lnx+

1

2

x²-（λ-2）x，λ∈R．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）单调递增，求实数λ的取值范围；
（2）若x=a，x=b（a＜b）为函数f（x）的两个极值点，
①求f（a）+f（b）的取值范围；
②若λ≥

e

+

1

e

+2，求f（b）-f（a）的最大值（注：e是自然对数的底数）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，利用基本不等式的性质，求出λ的范围即可；
（2）①函数f（x）有两个极值点，即它的导函数有两个不相等的正实数根，转化成二次函数有实根的问题，由韦达定理，利用二次函数的单调性求出f（a）+f（b）的取值范围；②将f（b）+f（a）化简变形，构造一个新函数，再由λ≥

e

+

1

e

+2，求出f（b）-f（a）的最大值．

解答： 解：（1）∵f'（x）=

1

x

+x-（λ-2），（x＞0）
∴

1

x

+x≥2，
∴f'（x）≥4-λ≥0，
∴λ≤4，
即实数λ的取值范围是：（-∞，4]；
（2）①∵f′（x）=

x2-(λ-2)x+1

x

，
依题意，方程x²-（λ-2）x+1=0有两个不等的正根a、b（其中a＜b），
∴

(λ-2)2-4＞0 λ-2＞0

，∴λ＞4，
又a+b=λ-2，ab=1，
∴f（a）+f（b）=lnab+

1

2

（a²+b²）-（λ-2）（a+b）
=-

1

2

（λ-2）²-1，
∵λ＞4，∴-

1

2

（λ-2）²-1＜-3，
故f（a）+f（b）的取值范围是（-∞，-3）；
②当λ≥

e

+

1

e

+2时，（λ-2）²≥e+

1

e

+2，
设t=

b

a

（t＞1），则（λ-2）²=（a+b）²=

(a+b)2

ab

=t+

1

t

+2≥e+

1

e

+2，
∴t+

1

t

≥e+

1

e

⇒（t-e）（1-

1

te

）≥0，∴t≥e，
∴f（b）-f（a）=ln

b

a

+

1

2

（b²-a²）-（λ-2）（b-a）
=ln

b

a

+

1

2

（b²-a²）-（b+a）（b-a）=ln

b

a

-

1

2

（b²-a²）
=ln

b

a

-

1

2

（

b2-a2

ab

）=ln

b

a

-

1

2

（

b

a

-

a

b

）=lnt-

1

2

（t-

1

t

），
构造函数g（t）=lnt-

1

2

（t-

1

t

），其中t≥e，
由g′（t）=

1

t

-

1

2

（1+

1

t2

）=-

(t-1)2

2t2

＜0
∴g（t）在[e，+∞）上单调递减，g（t）≤g（e）=1-

e

2

+

1

2e

，
故f（b）-f（a）的最大值为1-

e

2

+

1

2e

．

点评：本题是考查了函数的极值，运用了求导，构造函数，等价转化，化归等思想，是一道导数的综合应用题，中等难度．