Question

16．定积分${∫}_{-1}^{1}$[xcosx+（x+1）e^x]dx的值为e+e^-1．

Answer 1

分析 根据定积分的性质，可得[xcosx+（x+1）e^x]dx=${∫}_{-1}^{1}$xcosxdx+${∫}_{-1}^{1}$[（x+1）e^x]dx，由奇函数在对称区间的定积分为0，由${∫}_{-1}^{1}$[（x+1）e^x]dx=（xe^x）${丨}_{-1}^{1}$，即可求得答案．

解答 解：${∫}_{-1}^{1}$[xcosx+（x+1）e^x]dx=${∫}_{-1}^{1}$xcosxdx+${∫}_{-1}^{1}$[（x+1）e^x]dx，
由y=xcosx为奇函数，则${∫}_{-1}^{1}$xcosxdx=0，
${∫}_{-1}^{1}$[（x+1）e^x]dx=（xe^x）${丨}_{-1}^{1}$=e-（-e^-1）=e+e^-1，
∴${∫}_{-1}^{1}$[xcosx+（x+1）e^x]dx=e+e^-1．
故答案为：e+e^-1．

点评 本题考查定积分的运算及定积分的运算，考查计算能力，属于中档题．