题目内容
19．某服装超市举办了一次有奖促销活动，顾客消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性抽出3个小球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸到2个红球则打6折，若摸到1个红球，则打7折；若没有摸到红球，则不打折；
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回的摸取，连续3次，每摸到1个红球，立减200元．
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，则该顾客选择哪种抽奖方案更合适？
分析 （1）选择方案一，计算一位顾客享受免单优惠的概率，从而求出两位顾客均享受免单优惠的概率值；
（2）选择方案一时付款金额X的取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值；
选择方案二时，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z元，计算Z的数学期望，比较即可得出结论．
解答 解：（1）选择方案一，若享受到免单优惠，则需要摸出3个红球，
设一位顾客享受免单优惠为事件A，则
P（A）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
所以两位顾客均享受免单优惠的概率为
P（A）•P（A）=$\frac{1}{14400}$；
（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则
X可能的取值为0，600，700，1000；
计算P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
P（X=600）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，
P（X=700）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{40}$，
P（X=1000）=$\frac{{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{24}$；
所以随机变量X的分布列为：
| X | 0 | 600 | 700 | 1000 |
| P | $\frac{1}{120}$ | $\frac{7}{40}$ | $\frac{21}{40}$ | $\frac{7}{24}$ |
E（X）=0×$\frac{1}{120}$+600×$\frac{7}{40}$+700×$\frac{21}{40}$+1000×$\frac{7}{24}$=$\frac{4585}{6}$（元）；
若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z元，
则Z=1000-200Y，
由已知可得Y～B（3，$\frac{3}{10}$），
数学期望为E（Y）=3×$\frac{3}{10}$=$\frac{9}{10}$，
所以E（Z）=E（1000-200Y）=1000-200E（Y）=820（元）；
因为E（X）＜E（Z），
所以该顾客选择第一种抽奖方案更合适．
点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
在某小学体育素质达标运动会上，对10名男生和10名女生在一分钟跳绳的次数进行统计，得到如下所示茎叶图：
7．设A，B分别是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右顶点，P是双曲线C上异于A，B的任一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则$\frac{2a}{b}$+ln|m|+ln|n|取得最小值时，双曲线C的离心率为（ ）
| A． | 2 | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{6}$ |
14．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为F1，F2，两条渐近线分别为l1，l2，过F1作F1A⊥l1于点A，过F2作F2B⊥l2于点B，O为原点，若△ABO是边长为$\sqrt{3}$的等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
| A． | $\frac{x^2}{21}-\frac{y^2}{9}=1$ | B． | $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{21}=1$ | C． | $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$ | D． | $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1$ |
11．已知α是第三象限角，则$\frac{α}{2}$是（ ）
| A． | 第一象限角 | B． | 第二象限角 | ||
| C． | 第一或第四象限角 | D． | 第二或第四象限角 |
8．定积分${∫}_{0}^{\frac{π}{3}}$（x2+sinx）dx的值为（ ）
| A． | $\frac{{π}^{3}}{81}$+$\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{{π}^{3}}{81}$-$\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{2π}{3}$-$\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{2π}{3}$+$\frac{1}{2}$ |