Question

4．如图，ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，求二面角M-BD-C的正切值．

Answer 1

分析 以DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BD-C的正切值．

解答 解：以DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（2，4，4），C（0，8，0），M（1，6，2），D（0，0，0），B（4，8，0），
$\overrightarrow{DM}$=（1，6，2），$\overrightarrow{DB}$=（4，8，0），
设平面BDM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=x+6y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=4x+8y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，-1，2），
平面BDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设二面角M-BD-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴二面角M-BD-C的正切值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．