Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．请利用空间向量解决下列问题：
（1）当λ=

2

3

时，求异面直线AE和SC所成的角的余弦值；
（2）若直线AB和平面AEC所成的角为30°，求λ的值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角

专题：计算题,向量法,空间角

分析：（1）以D为坐标原点，分别以DA，DC，DS所在直线为x．y，z轴，建立空间直角坐标系，求出A，B，C，S，E的坐标，以及向量AE，SC 的坐标，由向量的夹角公式，即可得到；
（2）设平面AEC的法向量

n

=（x，y，z），由法向量与AE，AC垂直，列出方程，求得一个法向量，再由法向量与直线AB成60°的角，运用向量的夹角公式，计算即可得到所求的值．

解答： 解：（1）以D为坐标原点，分别以DA，DC，DS所在直线为x．y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），S（0，0a），E（0，0，λa），
即有

AE

=（-a，0，λa），

SC

=（0，a，-a），
即cosθ=|

AE • SC

| AE |•| SC |

|=|

-λa2

a2+λ2a2 • 2a2

|=

λ 2+2λ2

2+2λ2

，
当λ=

2

3

时，cosθ=

26

13

，
则异面直线AE和SC所成的角的余弦值

26

13

；
（2）由于

AE

=（-a，0，λa），

AC

=（-a，a，0），

AB

=（0，a，0），
设平面AEC的法向量

n

=（x，y，z），
则由

n

⊥

AE

，

n

⊥

AC

，即有

n

•

AE

=0，

n

•

AC

=0，
即-ax+λaz=0，且-ax+ay=0，
即有x=y=λz，可取

n

=（1，1，

1

λ

），
由于直线AB和平面AEC所成的角为30°，
则直线AB和平面AEC的法向量成60°的角，
即有cos60°=|

a

2+ 1 λ2 •a

|=

1

2

，
解得λ=

2

2

．

点评：本题考查空间的角：异面直线所成的角和线面角的求法，考查运用空间向量解决空间角的问题，考查运算能力，属于中档题．